Développements algébriques

Disclaimer : Je fait une impasse sur conique et une semi-impasse sur déterminant. Attendez vous à des recasages abusifs pour cette leçon.

01) Théorème de Lüroth (pseudo-original)

C'est à l'origine un résultat de géométrie algébrique.

La démonstration utilise des extensions de corps, des polynômes minimaux et annulateurs, ainsi que des anneaux. La référence est correcte, mais je me suis permit de ré-agencer les arguments pour qu'ils paraissent plus naturels.

L'idée est que, sous de bonnes hypothèses, à la droite projective complexe on peut associer le corps \(k(X)\), et à une courbe algébrique \(C\) un corps \(L\). On a une correspondance entre les morphismes de courbes et les morphismes de corps. Un morphisme de \(\mathbb{P}^1\) dans \(C\) induit un morphisme \(L \rightarrow C\). Le théorème donne alors un inverse pour ce morphismes de corps, qui montre alors que \(C\) est isomorphe à \(\mathbb{P}^1\).

Mais bon, mieux vaut garder ces détails pour soit, et éviter d'en parler le jours de l'agreg.

Ref : Patrice Tauvel - Corps commutatifs et théorie de Galois - p 88, 89.

02) Équation cartésienne d'une courbe rationnelle (original)

L'une des applications qui vous fera aimer la leçon résultant si ce n'est pas déjà le cas.

C'est encore une fois un résultat de géométrie algébrique, ou plutôt une version édulcoré pour l'agreg. On a une courbe donné par un paramétrage rationnel (de la forme \(\{(F(t), R(t)) | t \in k\}\) pour \(F, S \in k(X)\)) et l'on souhaite une équation de la forme \(P(X, Y) = 0\). Comme le résultat n'est pas très difficile à obtenir, on montreras aussi un premier résultat sur le résultant.

Ce developpement est plutot simple et pas trop long.

Ref : Goblot pour le premier lemme.

03) Nullstellensat faible par le résultant

Un résultat fonamentale de géométrie algébrique.

La démonstration se fait d'abord par un lemme de changement de base qui permet de rendre verticales les asymptotes dans une direction \(X_ n\) pivilégiée.

L'idée, pour montrer qu'une famille de polynomes n'ont pas de zéros communs, est de prendre le résultant de "toute une famille" \(f_ n\), ce que l'on fait en introduisant un polynome en une indéterminée supplémentaire \(U\) dont les coefficients sont les éléments \(f_ n\).

Ref : Apery.

04) Gauss-Wantzel

Détermine les polygones constructible à la règle et au compas. Le développement est un peu long, et plutot mal référencé, mais a de bons recasages.

Ref : Patrice Tauvel - Corps commutatifs et théorie de Galois. Ref : Carréga.

05) D'Alembert-Gauss algébrique

Bien que le résultat soit classique, et démontrable en une ligne via Liouville, tout l'intérêt repose dans la démonstration. Elle utilise les relations coefficient racines, le théorème fondamentale des polynômes symétriques élémentaires, et la résolution d'équations de degré 2 dans \(\mathbb{C}\).

Mais, dans toute démonstration de D'Alembert-Gauss, on est obligé d'utiliser la topologie de l'ordre. Ici cela se produit au travers du théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux polynômes de degré impair.

Ref : Pierre Samuel, Theorie Algebrique Des Nombres.

06) Classification des formes quadratiques (\(\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_q\))

On classifie les formes quadratiques sur les corps de la vie de tous les jours : \(\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_q\).

L'élément central est une reccurence sur la dimension, et un lemme de remplacement de paire de vecteur pour le cas des corps finis.

Un développement qui trouve tout particulièrement sa place dans exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

Ref : Caldero Germoni - H2G2 - p 151, 153 et p 173, 179. w

07) L'homémorphisme \(O(p,q) \rightarrow O(p)\times O(q)\times \mathbb{R}^{pq}\)

Ce développement est très bien référencé, plutôt facile à retenir, et joli. Il utilise la décomposition polaire et l'homéomorphisme \(exp : S_n \rightarrow S_n^{++}\).

Il a l'avantage de se recaser dans les quelques leçons de géométries, alors qu'il ne s'agit pourtant que d'algèbre.

Ref : Caldero Germoni - H2G2 - p 211, 213.

08) L'isomorphisme exceptionnel \(\frac{SU_2}{\pm I_2} \simeq SO_3\)

Cette isomorphisme "explique" pourquoi on peux utiliser les quaternions pour représenter les rotations de \(\mathbb{R}^3\) et éviter les problèmes de "gabal lock".

La construction du morphisme se réalise en remarquant que la conjugaison stabilise les imaginaires des quaternions. La surjectivitée repose sur un argument de famille génératrice.

Ref : Caldero Germoni - H2G2 - p 232, 233.

09) Parallèles et méridiens de \(SU_2\) (original)

Un très jolis résultat, qui n'est pas sans rappeler la fibration de Hopf. On pourra constater dans le Caldéro que "l'équateur" est un stabilisateur, et que le méridien considéré est en fait une orbite, le tout pour une bonne action qui permet de construire la fibration de Hopf à travers les actions de groupes topologiques.

Les arguments mis en jeux sont tous assez élémentaires : polynôme caractéristique, diagonalisation d'endomorphismes normaux, etc.

Il est peut-être un peu long, mais on peux intégrer la définition de méridien et parallèle dans l'énoncé, et admettre le premier point comme lemme.

Ref : Michael Artin - Algebra - p 272, 275

10) Formes de Hankel

Aussi connus sous le nom de "comptages des racines par une forme quadratique".

On construit une forme quadratique dont la signature \((p, q)\) compte le nombre de racines \((p+q)\) et le nombre de racines réels \((p - q)\) distinctes.

On calcul un déterminant de vandermonde pour montrer que certaines formes linéaires sont indépendantes. Il n'est pas très difficile, mais la référence que je propose le donne sous forme d'exercice.

Ref : Caldero Germoni - H2G2 - p 197.

11) Théorèmes de Sylow

Des théorèmes classiques qui figurent dans le plan. C'est bien de connaitre la démonstration, elle est bien référencée, et intuitive si l'on retien les actions. Bref, des groupes, et des actions de groupe, donc très agréable.

Ref : Perrin - Cours d'algèbre.

12) Irréductibilité des polynomes cyclotomiques.

Dévelopement cours et plutot trivial. On peut le rallonger en montrant que si \(P=QR\) avec \(P \in \mathbb{Z}[X]\) et Q unitaire dans \(\mathbb{Q}\) alors Q et R sont en fait dans \(\mathbb{Z}[X]\).

13) Algorithme de Berlekamp

Un théorème qui doit être connus par tout option C, qui donne une méthode de factorisation simple dans les corps finis. L'énnoncé donne la méthode, et la démonstration explique comment celle ci fonctionne.

Un résultat sympatique et bien référencé.

Ref : Beck Malick Peyré - Objectif Agrégation.

14) Frobenius - Zolotarev

Certains ne l'aime pas car trop transverse, et sans réel application (il peut quand même être utiliser pour montrer la réciprocité quadratique), mais il se recase bien, est simple, et réalise un excellent exemple d'utilisation des divers outils qui doivent être maitrisé en algèbre (symbole de legendre, quotient de groupe, famille génératrice, etc..).

Ref : Beck Malick Peyré - Objectif Agrégation.

15) Loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques

Un très joli développement, qui mélange actions de groupe, corps fini, et algèbre bilinéaire. Il n'est pas si classique que l'on pourait le croire.

La démonstration consiste à compter de deux façons différentes le nombre de points dans la sphère unité de \(\mathbb{F}_p\) modulo \(q\). Le développement est très bien référencé, mais demande tout de même un petit peu de travail pour ne pas s'emmêler les pinceaux le jour de l'orale.

Ref : Caldero Germoni - H2G2 - p 185, 186.

16) Surjectivité de l'exponentielle \(M_n(\mathbb{C}) \rightarrow GL_n(\mathbb{C})\)

Encore une fois, un très jolie développement. Il allie topologie et algèbre linéaire. On montre que l'exponentielle d'un endomorphisme \(A\) est un polynôme en celui çi, et que le groupe multiplicatif des inversibles \(\mathbb{C}[A]^{\times}\) est connexe. On utilise un petit peu (tout petit peu) de groupes topologiques, notamment le lemme "un sous groupe ouvert est fermé".

La référence n'est pas une vraie référence, puisqu'il s'agit de la démonstration plus classique qui utilise la décomposition de jordan. Il faut donc le connaître. Par contre, il peut être bon de connaître l'image de l'exponentielle réelle.

Ref : Beck Malick Peyré - Objectif Agrégation - p 213.

17) Somme de deux carrés

Un développement simple, facile à retenir, intuitif, agréable. Le lemme qui figure à la fin est fondamental et doit être connu par tout agrégatif, même si l'on choisit de ne pas le démontrer le jours de l'oral.

Ref : Perrin - Cours d'algèbre

18) Décomposition polaire

Simple, extrèmement bien référencé, facile.

Ref : Caldero Germoni - H2G2 - p 202, 204.

19) Nombre de solutions d'une équation diophantienne

Des séries génératrices, de la décomposition en éléments simples, et une équivalence qui peut facilement etre donnée comme un développement asymptotique (on a un grand O).

Simple et de bon recasages, bien référencé.

Ref : Gourdon Analyse - Exercice 7 p 249.

20) Théorème de Molien

C'est un résultat qui lie la dimension d'algèbres invariantes sous une action aux séries fractions rationelles. C'est un développement interessant pour la leçon "représentations" puisque l'on montre que l'opérateur de moyenne est un projecteur sur l'espace fixe.

Ref : Gabriel Peyré - Algèbre discrète de la transformé de Fourier.

21) Jordan : Classes de similitudes des nilpotentes via les tableaux de Young

On démontre le théorème de jordan (pour l'unicité, on est ramené à montrer que deux formes réduites de jordan ne sont pas dans la même orbite, ce qui est évident, et laissé au lecteur ;) ) en construisant une base où la matrice est sous forme réduite. L'idée est de regarder comment se comporte les noyeaux itérés, et fait aparaitre l'aspect "cyclique" des bloques observés. Un peu long, mais un développement excellent et qui permet de vraiment comprendre le théorème de Jordan.

Ref : Caldero Germoni - H2G2 - p 88, 93.

22) Méthodes itératives (système linéaire)

On partage une matrice \(A \in GL_ n(\mathbb{R})\) en \(A = M - N\) avec \(M\) inversible (plus facile à inverser que A). On construit alors une méthode itérative qui converge si et seulement si le rayon spectrale de \(M^{-1}N\) est strictement inférieur à 1.

La démonstration repose sur le lemme qui permet de faire tendre une triangulaire vers une diagonale par changement de base (celui du classique développement "classes de similitude").

Ref : Dumas Laurent - Modélisation Calcul Scientifique - p 168.

23) Groupe des isométries du cube

Un jolie développement où l'on utilise des générateurs pour montrer la surjectivité d'un morphisme. Pas très difficile, et bien référencé, j'aime beaucoup.

Ref : Caldero Germoni - H2G2 - p 364, 365.

24) Lemme de Farkas

Long, loin d'être simple, garre aux trous de mémoire. Même si le résultat et la démonstration est sympatique, je suis content de ne pas avoir eu à le préparer le jour de l'oral.

Ref : Francinou Gianella Nicolas - Algèbre 3.

25) Topologie des classes de similitude

Simple, classique, et inintéressant. Mais utile pour boucher les derniers trous dans les developpements. Si l'on fait "Méthodes itératives", on fait d'une pierre deux coups.

Ref : FGN ?.

26) Simplicité par la table des caractères

Résultat très utile (c'est grace à ça que l'on savais que le monstre est simple avant même de savoir qu'il existait), dont la démonstration utilise une propriétée fondamentale des représentations d'un groupe fini sur \(\mathbb{C}\) et illustre le fait de "remonter" une représentation (ce qui sert, par exemple, à construire la table de \(A_4\) à partir de celle de \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\)).

Ref : Gabriel Peyré - Algèbre discrète de la transformé de Fourier.

A) Nullstellensatz (Théorème des zéros de hilbert)

On démontre l'énnoncé faible puis le fort. La démonstration n'est valable que sur un corps undénombrable, donc dites adieux aux clotures algébriques de corps fini. Comme ses recasages sont strictement inclus dans le nullstellensatz par le résultant, il se retrouve abandonné en annexe.

Ref : Perin - Géométrie Algébrique.


Développements analytiques

Disclaimer : Je fait une impasse totale sur les probas.

01) Thérorème de Borel et application

Un bon développement, même si il faut se souvenir de la majoration.

Plutot simple, et tout est dans le gourdon.

Ref : Xavier Gourdon - Analyse.

02) Base Hilbertienne de polynômes

Ce théorème donne une condition suffisante pour que les polynômes orthogonaux associés à une fonction poids \(\rho : I \Rightarrow \mathbb{R}\) soient dense (i.e. forment une base Hilbertienne) dans \(L^2(I, \rho)\).

Cela vaut (sur \(I = ]-1;1[\)) pour les polynômes de Legendre (\(\rho = 1\)) et Tchebychev (\(\rho = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)).

Attention à la référence qui est plutot mauvaise.

Ref : Beck Malick Peyré - Objectif Agrégation - p 140, 141.

03) Chemin au dessu d'une courbe concave

Un développement où l'on ne peux pas détailler en profondeur tout les points. La seconde partie n'est pas référencée.

Ref : Francinou Gianella Nicolas - Algèbre 3.

04) Méthode de Newton

Un développement que l'on meure d'envie de qualifier de "trivial" (tous es outils utilisé sont élémentaires), mais avec un recasage impressionnant.

On fera quand même attention à une légère subtilité dans une majoration.

Ref : François Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.

05) Lemme de Morse

Classique, passe par la démonstration d'un lemme de réduction d'une forme quadratique version différentielle. Le gros soucis est que l'énoncer et la correction du Rouvière ne correspondent pas au format Agreg. Il faut donc "retenir" (i.e. savoir retrouver rapidement avec le livre) l'énoncer du lemme, et les bon espaces tangent.

Ref : François Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.

06) Inégalité isopérimétrique

Il faut admettre Stokes en dimension 2 (Green-Riemann), ou bien la formule de l'aire enclose par une courbe. On pourra regarder le Amar-Matheron pour une idée de la démonstration de Stokes. Ceci mis à part, c'est une magnifique application des séries des Fourier et de la théorie des courbes paramétrées.

Ref : Queffélec Zuily - Éléments d'Analyse pour l'Agrég. - Inég. Iso. p 101, 102. Ref : Faraut - Calcul Intégral - p 178, 179.

07) L'isomorphisme exceptionnel \(PSL_ 2(\mathbb{C}) \simeq SO_ 3(\mathbb{C})\)

Du calcul différentiel (inversion local) sur des sous variétés, saupoudré de quaternions, et de formes quadratiques. La recette miracle pour un développement d'algèbre qui ne se reccase qu'en analyse. Ce genre de petite merveille est tellement rare, qu'il faut en profiter.

Ref : Caldero Germoni - H2G2.

08) Lacunes de Hadamard

Cette théorème montre que si une serie entière a suffisament de trous dans ses termes, alors il n'existe pas de prolongement analytique hors du disque de convergence.

Une démonstration astucieuse et plutot bien rédigé dans le QZ (attention à l'ordre des auteurs, le QZ et le ZQ sont deux livres très différents).

Ref : Qufélec Zuily - Analyse pour l'agrégation - p 54, 55.

09) Billard Elliptique

Une très bonne application des extremas liés pour construire une trajectoire à trois rebond dans une ellipse.

C'est en fait un résultat valable dans n'importe quel "billard convexe". L'avantage de cet énoncé est de mettre de coté les subtilités relatives aux (sous-)variétés à bord. Le développement appelle la question "où utilisez vous que c'est une ellipse", et la réponse est "nul part". La convexité est "facultative", dans le sens où elle ne sert qu'à imposer que la trajectoire à trois rebond reste dans le billard (un hypothèse somme toute raisonnable).

Ref : François Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.

10) Formule sommatoire de Poisson

Un développement que je n'aime pas du tout, mais il faut savoir faire des sacrifices.

Ref : Gourdon.

11) Transformée de Fourier-Plancherel

Un développement qui demande du travail, et montre un théorème très utile. On admet le résultat \(L^1\) pour se concentrer sur la démonstration que la transformée restreinte à \(L^1 \cap L^2\) est une isométrie, afin de la prolonger par uniforme continuité. J'utilise le noyeau gaussien, car c'est aussi celui que j'utilise pour la transformé de fourier dans \(\mathcal{S}\).

On remarquera que l'on fait une convergence monotone, et que l'on ne peux pas appliquer une convergence dominé.

Non référencé.

12) Densité de \(\mathcal{D}\) dans \(L^p\).

Un développement court et plutot simple qui utilise la convolution (approximation de l'unité), fubini, et hölder. Très bien référencé.

Ref : Faraut - Calcul Intégral - p 121, 123.

12) Banach-Steinhauss et fonction dont la série de Fourier diverge

Démonstration du théorème de Banach-Steinhauss (qui utilise Baire) puis une application à la construction d'une fonction dont la série de Fourier diverge. Il faut savoir qu'une légère modification de l'énoncer permet d'avoir un \(G_\delta\) dense de fonctions de ce type. La démonstration étant casi identique, mieux vaut savoir le faire.

Je n'ai pas de référence pour l'application.

Ref : Brezis - p 16.

13) Système de Lotka - Voltera

Un grand classique. Le jury veux voir de l'étude qualitative. A moins que vous ne comptiez faire Hadamard-Lévi, c'est la seul étude qualitative non trivial que je connaisse.

On s'intéresse au premier quadrant du plan. On regarde ce qui se produit sur les bords, on parachute l'intégrale première, on divise le quart de plan en quatre zone autour du point stable (corespondant aux quatres phases de la "rotation") et l'on n'étudie qu'un morceau (tous se traitent de la même façon). On conclut pour la périodicité en regardant le temps de premier retour, et grace à l'intégrale première.

Ref : Francinou Gianella Nicolas - Analyse 4.

14) Résolution d'une equation matricielle grace aux EDL

Ne se recase pas très bien, mais c'est un développement facile pour EDL, et en forçant un peu il se recase dans EDO.

Gourdon Analyse - Problème 7 p 384.

15) Théorème Taubérien Fort

Un théorème d'interversion de limite pour une série entière qui "n'explose pas trop vite en 1". Long, très long. On peux sûrement gagner du temps dans la rédaction en posant des notations de la forme \(S(\phi)(x) = \sum x^n \phi(x^n)\).

Bien faire le dessin, qui permet à la fois de comprendre ce que l'on fait, et d'expliquer au jury comment vous construisez vos fonctions continues à l'oral.

Si vous êtes une fusée, vous pouvez rajouter le lemme 1.

Gourdon Analyse - Problème 20 p 284, 286.

16) Kakutani-Massera

Un théorème de point fixe dans un compacte convexe, suivit d'une application aux équations différentielles linéaires. Connus et reconnus pour ses recasages.

Ref : Gonnor et Tosel - Topologie p 77, Calcul Diff. p 121.

17) Optimisation dans un espace de Hilbert

Un développement très agréable d'analyse fonctionnelle dans un espace de espace de Hilbert. Il est question de montrer qu'un minimum existe.

L'idée est que, à défaut de pouvoir faire converger une suite minimisante dans \(H\), on peut injecter la suite dans le dual topologique \(H^*\) via le produit Hermitien. On la fait alors converger faiblement (sans le dire), puis l'on revient dans \(H\) via le théorème de représentation de Riesz. On vérifie alors, grâce à la caractérisation de la projection sur un convexe fermé, que notre candidat convient.

On pouras remarquer que l'essentielle de la démonstration revient à montrer qu'un convexe fortement fermé est faiblement fermé (si si, regardez bien les \(C_\alpha\)).

Attention, la fin n'est pas celle de la référence.

Ref : Ciarlet - Intro. Analyse Num., Matri., Opti. - Ch 8, p 176.

18) Inversion de Fourier dans \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\).

C'est, grosso modo, la transformé de fourier \(L^1\) (quelques arguments changent car on considère \(\mathcal{S}\)). J'utilise le noyeau gaussien, cf Fourier-Plancherel.

Ref : ???.

19) Equation différentielle sur \(\mathcal{S}'\).

Bon, ne le cachons pas, on sais résoudre cette equation depuis la terminale (sur \(\mathbb{R}+\) et \(\mathbb{R}-\), puis on recole). Du coup, on vas le faire d'une façon inutilement compliquer.

Il faut le voir comme une illustration de la recherche d'une solution élémentaire, et d'une méthode général des distributions.

Un petit calcul de résidus tout gentil montre le bout de son nez, ce qui nous permet de recaser le développement dans calculs d'intégrales.

Non référencé.

A) Courbe à courbure croissante.

Un exercice de calcul diff, qui dit (en gros) que les disques osculateurs à une courbe dont la courbure croit forment un anneau.

Ce développement a ses recasages strictement inclus dans "Chemin au dessu d'une courbe concave", d'où son abandon.

Non référencé.

B) Morgenster (Fonction nul part analytique)

Une application de Baire amusante. Plus simple que les fonctions non dérivables, mais non référencé.

Non référencé.