Un peu de retard...
Comme vous l'auriez remarqué, cela fait bien un petit moment que je n'ai pas publié de billet. Non pas que je n'en ai pas eu l’envie, mais avant de publier, il faut quelque chose à dire, et de préférence que ceci ai un réel apport, et non ne soit une concaténation approximative d'informations glané sur les flux d'informations les plus commun, ce que chacun sais faire à son gout celons ses propres besoins. J'ai effectivement quelques documents intéressant sous la main, mais j'aimerais les relire et les retravailler un minimum avant de les publier. Malheureusement, je manque cruellement de temps. Veuillez donc m'excuser pour ce long silence. Je vais tacher de publier plus régulièrement.
Nova Methodus pro maximis et minimis
itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moran-
tur et singulare pro illis calculi genus.
Il s'agit du titre d'une publication de Gottfried Wilhelm Leibniz, qui rappelons le, est un philosophe, diplomate, et mathématicien/physicien du XVIIem siècle. Ce texte, est l'un des précurseurs relatifs au calcul différentiel (dérivées, et généralisation des dérivés pour les fonctions de plusieurs variables). On y trouve les règles de différentiations du produit(règle de liebniz), de la somme (linéarité), et les règles que l'on peut en dérivé. Bien entendu, dans l'esprit de liebniz, nulls formes linéaires, mais bien des infiniments petits, des quantité que l'on sautoriseras aujourd'hui sans le moindre doute à mettre en parallèle avec les infinitésimaux du corps des surréels ( par exemple, si l'on inverse l'ordinal $\omega + 1$, on obtient infinitésimale $\frac{1}{\omega + 1} ).
À défaut de pouvoir accéder a ces infinitésimaux, il est possible de les comparer, en prenant leur rapport. Dans le cas ou celui ci est fini, on a ainsi le rapport de deux quantité infinitésimale, que l'on peut à très juste titre associer a la limite du quotient de deux quantités finies tendant chacune vers les quantités infinitésimale précédemment nommé.
Dans le cadre du cours d'histoire des mathématiques, j'ai rédigé quelques lignes explicatives sur cette publication, que vous pouvez trouver dans le paragraphe "commentaire suivit" du document situé en bas de ce billet. Notez aussi une analyse philosophique très intéressante de ce texte. Par contre, à ce sujet, je ne saurait donner plus de détails.
Bref, autant dire qu'une lecture de ce papier ne peux pas faire de mal, et pourrait même pour certain démystifier ce "sacrilège des physiciens" consistant à "diviser et multiplier" par des "dt". (Même si une vrais formulation rigoureuse de tout ceci serait à chercher dans les formes différentielles, et ce qui s'y rapporte.)
Le voici sans plus attendre : http://zenol.fr/dl/hdm_liebniz.pdf
Si certains des points évoqué ne sont pas très claires (notamment ceux abordé par ce billet), voici un complément :
-Visual Complex Analysis, Tristan Needham , p.20-21 pour une explication claire en quelque ligne d'une formulation rigoureuse à partir de nos notions de maths de ce que l'on pourrait appeler un infinitésimal.
-On numbers and Games, John Conway, pour une formalisation précédé d'une introduction très claire aux sur-réels. Sinon, vous avez toujours http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number